Question

如圖，兩條相交線段、的四個端點(diǎn)都在橢圓上，其中，直線的方程為，直線的方程為．

（1）若，，求的值；
（2）探究：是否存在常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒有？

Answer 1

(1)   (2)

試題分析：
(1)聯(lián)立直線與橢圓方程可以求出的坐標(biāo),設(shè)出A點(diǎn)的坐標(biāo),且滿足A點(diǎn)在橢圓上和,即根據(jù)AB為角平分線且與x軸垂直可得AP與AQ所在直線的傾斜角互為補(bǔ)角(斜率互為相反數(shù)),故兩條件聯(lián)立即可求出m的值.
(2) 聯(lián)立直線與橢圓方程得到關(guān)于的坐標(biāo)的韋達(dá)定理,由(1)這種特殊情況可得滿足題意的只可能是,故一一帶入驗(yàn)證是否能使得即可.
試題解析：
（1）由，
解得，．            2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041527817580.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
設(shè)，則，
化簡得，          5分
又，聯(lián)立方程組，解得，或．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041527677354.png" style="vertical-align:middle;" />平分，所以不合，故．           7分
（2）設(shè)，，由，得．
，，．            9分
若存常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒有，則由（Ⅰ）知只可能．
①當(dāng)時(shí)，取，等價(jià)于，
即，
即，
即，此式恒成立．
所以，存常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒有．          13分
②當(dāng)時(shí)，取，由對稱性同理可知結(jié)論成立．
故，存常數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，恒有．          15分