Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1,公差d>0，且第2項(xiàng)，第5項(xiàng)，第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{b_n}的第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng)．

（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；

 (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和

（3）設(shè)數(shù)列{c_n}對(duì)任意自然數(shù)n，均有，求c₁+c₂+c₃+……+c₂₀₀₆值．

 

Answer 1

【答案】

（1）a_n=2n-1,b_n=3^n-1.（2）見解析

（3）當(dāng)n=1時(shí)，c₁=3 當(dāng)n≥2時(shí)， ，

【解析】

試題分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將第二項(xiàng)，第五項(xiàng)，第十四項(xiàng)用{a_n}的首項(xiàng)與公差表示，再據(jù)此三項(xiàng)成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式．

（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式通過裂項(xiàng)求解數(shù)列的和

（3）當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)a_n+1-a_n，求出數(shù)列{c_n}通項(xiàng)公式，但當(dāng)n=1時(shí)，不符合上式，因此數(shù)列{c_n}是分段數(shù)列；然后根據(jù)通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果

解：（1）由題意得（a₁+d）(a₁+13d)=(a₁+4d)²(d>0)  解得d=2,∴a_n=2n-1,b_n=3^n-1.

（3）當(dāng)n=1時(shí)，c₁=3 當(dāng)n≥2時(shí)， ，

考點(diǎn)：本試題主要考查了利用基本量表示等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)，疊加求解數(shù)列的通項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于等差數(shù)列，等比數(shù)列基本關(guān)系式的求解和運(yùn)用。