Question

已知數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且對(duì)任意n∈N*都有a_n=2n²+kn恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知中數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且對(duì)任意n∈N*都有a_n=2n²+kn恒成立，我們易構(gòu)造一個(gè)關(guān)于k，n的不等式，而且可以得到該不等式恒成立，結(jié)合n∈N*，易求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答：解：∵a_n=2n²+kn
∴a_n+1=2（n+1）²+k（n+1）=2n²+（k+4）n+2+k
又∵數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，
∴a_n+1＞a_n，即a_n+1-a_n=4n+2+k＞0恒成立
即k＞-（4n+2）恒成立
∵n∈N*
∴4n+2≥6
∴-（4n+2）≥-6
則k＞-6
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-6，+∞）
故答案為：（-6，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的函數(shù)特性，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)不等式恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵．