Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知a₁=1，，n∈N^*．令n=1即可求出；
（2）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）即可得到na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），可化為，．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（3）利用（2），通過(guò)放縮法（n≥2）即可證明．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，，解得a₂=4
（2）①
當(dāng)n≥2時(shí)，②
①-②得
整理得na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），即，
當(dāng)n=1時(shí)，
所以數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
所以，即
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為，n∈N^*
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124315745703613/SYS201310251243157457036018_DA/15.png">（n≥2）
所以=
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系a_n=S_n-S_n-1（n≥2）、裂項(xiàng)求和及其放縮法等是解題的關(guān)鍵．