Question

【題目】已知二次函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立.

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）若，求的表達(dá)式；

（Ⅲ）在題（Ⅱ）的條件下設(shè)，若圖象上的點(diǎn)都位于直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（1）令即可得解；

（2）由， 求得，即，再由二次不等式恒成立的條件為 >0，判別式非正，即可得到，c，進(jìn)而得到解析式；
（3）由題意知在上恒成立，即在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)判別式求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）證明：由題意可得，則；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ，即，

又，即，

兩式相減可得： ，即，

所以，

對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，即為恒成立，

則有，化簡(jiǎn)得，

所以，

所以，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

（Ⅲ）由題意知在上恒成立，即在上恒成立，即.

（ⅰ）由，即，解得；

（ⅱ）由，解得，綜上可知， .

法2：由題意知在上恒成立.

（�。┊�(dāng)時(shí)， 成立；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，又當(dāng)時(shí)， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值），所以，解得.

點(diǎn)集：解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法

（1）分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍.一般地，f(x)≥a恒成立，只需即可； 恒成立，只需即可.

(2)函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，然后構(gòu)建不等式求解.