Question

【題目】已知數(shù)列{an}，{bn}，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，向量=(1,bn)， =(an－1,Sn)， //．

（1）若bn=2，求數(shù)列{an}通項公式；

（2）若， =0.

①證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；

②設數(shù)列{cn}滿足，問是否存在正整數(shù)l，m(l<m,且l≠2，m≠2)，使得成等比數(shù)列，若存在，求出l、m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②．

【解析】試題分析：（1）利用兩個向量平行的坐標關系得到Sn=（an-1）bn，進一步對n取值，得到數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）①由bn= ，則2Sn=nan-n③，又2Sn+1=（n+1）an+1-（n+1）④，兩式相減即可得到數(shù)列{an}的遞推公式，進一步對n 取值，得到數(shù)列{an}是首項為-1，公差為1的等差數(shù)列．
②由①得到數(shù)列{cn}通項公式，根據(jù)m，l的范圍討論可能的取值．

試題解析：（1)因為=(1,bn)， =(an－1,Sn)， //

得Sn=(an1)bn,當bn=2,則Sn=2an2①，

當n=1時,S1=2a12,即a1=2,

又Sn+1=2an+12②，

②①得Sn+1Sn=2an+12an，

即an+1=2an,又a1=2，

所以{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,

所以an=2n.…(4分)

(2)①證明：因為bn=n2,則2Sn=nann③，

當n=1時,2S1=a11,即a1=1，

又2Sn+1=(n+1)an+1(n+1)④，

④③得

2Sn+12Sn=(n+1)an+1nan1,

即(n1)an+1nan1=0⑤，

又nan+2(n+1)an+11=0⑥

⑥⑤得,nan+22nan+1+nan=0，

即an+2+an=2an+1,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列

②又a1=1,a2=0，

所以數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列。

an=1+(n1)×1=n2,所以cn=n+1n,…(10分)

假設存在l<m(l≠2,m≠2),使得cl、c2、cm成等比數(shù)列,即c22=clcm，

可得94=l+1lm+1m,

整理得5lm4l=4m+4即l=4m+45m4,由4m+45m41,得1m8

由<m,所以存在=1,m=8符合條件