Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若試判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

（3）求證：對(duì)任意的正數(shù)a都存在實(shí)數(shù)t滿足：對(duì)任意的，.

Answer 1

【答案】(1) 單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為. (2) 見解析 (3)證明見解析

【解析】

（1）求解，利用，解不等式求解單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間；
（2），其中，
再次構(gòu)造函數(shù)令，分析的零點(diǎn)情況．，
令，列表分析得出單調(diào)性，求其最小值，
分類討論求解①若，②若，③若的單調(diào)性，最大值，最小值，確定有無(wú)零點(diǎn)問(wèn)題；
（3）先猜想恒成立．
再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷證明．令，求解最大值，得出即可．

（1）當(dāng)時(shí)，，，

令，，列表分析

		1
		0	+
	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

故的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2），，其中，

令，分析的零點(diǎn)情況.

令，，列表分析

		0	+
	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

，

而，

，

①若則，

故在內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)；

②若，則，

因此在有兩個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

③若則，，，

因此在有一個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)；

綜上所述當(dāng)時(shí)，在內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn).

（3）猜想：，恒成立.

證明如下：

由（2）得在上單調(diào)遞增，且，.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

所以

故在上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)為.由

		0	+
	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

知，.

又，而時(shí)，，

所以.

即，.

所以對(duì)任意的正數(shù)a，都存在實(shí)數(shù)，

使對(duì)任意的，

使.

補(bǔ)充證明:

令，.，

所以在上單調(diào)遞增.

所以時(shí)，，即.

補(bǔ)充證明

令，.，

所以在上單調(diào)遞減.

所以時(shí)，，即.