Question

已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，圓與直線相切.
（1）設(shè)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，，求的最小值；
（2）過點(diǎn)作兩條相異直線分別與圓相交于，且直線和直線的傾斜角互補(bǔ)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線和是否平行？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）-4；（2）直線和一定平行.

試題分析：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的點(diǎn)乘、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識(shí).考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，列出方程組，解出，即得到圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離求半徑，寫出圓的方程，利用向量的點(diǎn)乘列出式子，數(shù)形結(jié)合找出最小值；第二問，利用直線與圓的位置關(guān)系列出方程，得出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用斜率公式寫出式子，判斷兩個(gè)斜率是否相等.
試題解析：（Ⅰ）設(shè)圓心，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，            1分
∵圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，解得，                 3分
∴圓心到直線的距離，           4分
∴求圓的方程為．                                 5分
設(shè)，則，
∴，            6分
作直線：，向下平移此直線，當(dāng)與圓相切時(shí)取得最小值，這時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以·的最小值為－4．                                8分
（Ⅱ）由題意知，直線和直線的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)：，
：，由，得．
因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是該方程的解，故可得，同理，，
則．
所以，直線和一定平行．                                 14分