Question

列數陣為“森德拉姆篩”，其特點是每行每列都是等差數列

2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	13	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	16	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…

（1）記數表中的第1行第1列為a₁，第2行第2列為a₂，依此類推，第n行第n列為a_n，即a₁=2，a₂=5，則a_n=

 

（2）定義[x）為比x大的最小整數，例如[1.5）=2，如果把年號n對應的整數[

1

50

n）稱為“幸運數”，那么在上在的“森德拉姆篩”數表中，今年2014年的“幸運數”出現的次數為

 

．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：新定義,等差數列與等比數列

分析：（1）利用累加法，然后由等差數列的前n項和公式得答案；
（2）由等差數列的通項公式把數表中的每一個數用行數與列數表示，然后求解質因數，則答案可求．

解答： 解：（1）由“森德拉姆篩”數表中的數據a₁=2，a₂=5，a₃=10，a₄=17，…可知：
a₂-a₁=3，
a₃-a₂=5，
a₄-a₃=7，
…
a_n-a_n-1=2n-1．
累加得：a_n-a₁=3+5+7+…+2n-1=

(3+2n-1)(n-1)

2

=n2-1．
∴an=n2-1+a1=n2-1+2=n2+1．
（2）第i行第j列的數記為A_ij．那么每一組i與j的解就是表中一個數．
∵第一行數組成的數列A_1j（j=1，2，…）是以2為首項，公差為1的等差數列，
∴A_1j=2+（j-1）×1=j+1，
∴第j列數組成的數列A_ij（i=1，2，…）是以j+1為首項，公差為j的等差數列，
∴A_ij=j+1+（i-1）×j=ij+1．
令A_ij=ij+1=2014，
即ij=2013=1×2013=3×671=11×183=61×33=33×61=183×11=671×3=2013×1．
故2014年的“幸運數”出現的次數為8次．
故答案為：（1）n²+1，（2）8．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，訓練了累加法求數列的和，解答的關鍵是對題意的理解，屬中檔題．