Question

定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)y=f（x），f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，如果?ξ∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），則稱ξ為[a，b]上的“中值點(diǎn)”．下列函數(shù)：
①f（x）=2x+1，
②f（x）=x²-x+1，
③f（x）=ln（x+1），
④f（x）=（x-

1

2

）³，x∈[-2，2]
其中在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”多于一個的函數(shù)是

 

（請寫出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：新定義,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)“中值點(diǎn)”的幾何意義是在區(qū)間[a，b]上存在點(diǎn)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的切線的斜率等于區(qū)間[a，b]的兩個端點(diǎn)連線的斜率值．由此定義并結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對于四個選項(xiàng)逐一判斷，即得出正確答案．

解答： 解：根據(jù)題意，“中值點(diǎn)”的幾何意義是在區(qū)間[a，b]上存在點(diǎn)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的切線的斜率等于區(qū)間[a，b]的兩個端點(diǎn)連線的斜率值．
對于①，根據(jù)題意，在區(qū)間[a，b]上的任一點(diǎn)都是“中值點(diǎn)”，f′（x）=2，滿足f（b）-f（a）=f′（x）（b-a），∴①正確；
對于②，根據(jù)“中值點(diǎn)”函數(shù)的定義，拋物線在區(qū)間[a，b]只存在一個“中值點(diǎn)”，∴②不正確；
對于③，f（x）=ln（x+1）在區(qū)間[a，b]只存在一個“中值點(diǎn)”，∴③不正確；
對于④，∵f′（x）=3(x-

1

2

)2，且f（2）-f（-2）=19，2-（-2）=4；∴3(x-

1

2

)2×4=19，解得x=

1

2

±

19 12

∈[-2，2]，∴存在兩個“中值點(diǎn)”，④正確．
故答案為：①④

點(diǎn)評：本題考查了新定義的命題真假的判斷問題，重點(diǎn)是對導(dǎo)數(shù)及其幾何意義的理解與應(yīng)用問題，是中檔題．