Question

設(shè)A₁、A₂是雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1的實(shí)軸兩個(gè)端點(diǎn)，P₁P₂是雙曲線的垂直于x軸的弦，
（Ⅰ）直線A₁P₁與A₂P₂交點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過x=4與x軸的交點(diǎn)Q作直線與（1）中軌跡C交于M、N兩點(diǎn)，連接FN、FM，其中F（1，0），求證：k_FN+k_FM為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）設(shè)P₁（x₀，y₀），P₂（x₀，-y₀），則A₁P₁的方程為y=

y0

x0+2

(x+2)，A₂P₂的方程為y=

-y0

x0-2

(x-2)，可得y2=

-y02

x02-4

(x2-4)．又P₁（x₀，y₀）在雙曲線上，可得

x02

4

-

y02

3

=1，代入即可得出．
（II）Q（4，0）．設(shè)直線MN的方程為y=k（x-4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與斜率極限公式可得：k_FN+k_FM=

y2

x2-1

+

y1

x1-1

=

y2(x1-1)+y1(x2-1)

(x2-1)(x1-1)

，其中分子=0．

解答： （I）解：設(shè)P₁（x₀，y₀），P₂（x₀，-y₀），
則A₁P₁的方程為y=

y0

x0+2

(x+2)，①
A₂P₂的方程為y=

-y0

x0-2

(x-2)，②
將①×②，得y2=

-y02

x02-4

(x2-4)．
又P₁（x₀，y₀）在雙曲線上，
∴

x02

4

-

y02

3

=1，即y02=

3

4

(x02-4)，
代入上式，得

x2

4

+

y2

3

=1（y≠0）．
（II）證明：Q（4，0）．
設(shè)直線MN的方程為y=k（x-4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

，化為（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
∴x1+x2=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

．
∴k_FN+k_FM=

y2

x2-1

+

y1

x1-1

=

y2(x1-1)+y1(x2-1)

(x2-1)(x1-1)

，
其中分子=k（x₂-4）（x₁-1）+k（x₁-4）（x₂-1）
=k[2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8]
=k(

128k2-24

3+4k2

-

160k2

3+4k2

+8)
=0為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．