Question

【題目】如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，AF=2，BD=1，CE=3，O為BC的中點．

（1）求證：面EFD⊥面BCED；

（2）求平面DEF與平面ACEF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取DE的中點G，以O為原點，OC為x軸，OA為y軸，OG為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面DEF⊥平面BCED．（2）求出平面DEF的一法向量和平面ACEF的一法向量，利用向量法能求出平面DEF與平面ACEF相交所成銳角二面角的余弦值．

試題解析：

（1）取DE的中點G，以O為原點，OC為x軸，OA為y軸，OG為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則A（0，，0）、B（0，﹣1，0）、C（1，0，0）、D（﹣1，0，1），E（1，0，3）、F（0，，2）、G（0，0，2），

=（2，0，2），=（1，，1），

設平面DEF的一法向量=（x，y，z），

則，取x=1，則y=0，z=﹣1，

∴=（1，0，﹣1），

平面BCED的一法向量為=（0，1，0），

∵=0，

∴平面DEF⊥平面BCED．

（2）由（1）知平面DEF的一法向量=（1，0，﹣1），

設平面ACEF的一法向量=（a，b，c），

=（1，﹣，0），=（0，0，2），

則，取b=1，得=（），

cos＜＞===，

∴平面DEF與平面ACEF相交所成銳角二面角的余弦值為．