Question

1．已知極坐標的極點在平面直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同．直線l的極坐標方程為：$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=10，若點P為曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα+2}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）上的動點，其中參數(shù)α∈[0，2π]．
（1）試寫出直線l的直角坐標方程及曲線C的普通方程；
（2）求點P到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角差的正弦公式，將極坐標方程展開，進而可得直線的一般方程；利用平方法消去參數(shù)，可得曲線C的標準方程；
（2）求出圓心到直線的距離，加上半徑，可得答案．

解答 解：（1）因為$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=10，所以ρsinθ-ρcosθ=10，
所以直線l的直角坐標方程為x-y+10=0．…（3分）
曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα+2}\end{array}\right.$且參數(shù)α∈[0，2π]
消去參數(shù)π可知曲線C的普通方程為x²+（y-2）²=4．…（5分）
（2）由（1）點P的軌跡方程為x²+（y-2）²=4，圓心為（0，2），半徑為2．
則圓心到直線的距離d=4$\sqrt{2}$，…（3分）
所以點P到直線l距離的最大值4$\sqrt{2}$+2．…（10分）

點評 本題考查的知識點是簡單曲線方程的極坐標方程，參數(shù)方程化為普通方程，直線圓的位置關(guān)系．