Question

如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，將△ABC沿DE，EF，DF折成正四面體P-DEF，則四面體中異面直線PG與DH所成的角的余弦值為

 

．

Answer 1

分析：折成的四面體是正四面體，畫(huà)出立體圖形，根據(jù)中點(diǎn)找平行線，把所求的異面直線角轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角來(lái)計(jì)算．

解答：解：如圖，連接HE，取HE的中點(diǎn)K，連接GK，則GK∥DH，故∠PGK即為所求的異面直線角或者其補(bǔ)角．
設(shè)這個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，在△PGK中，PG=

3

，GK=

3

2

，PK=

12+( 3 2 )2

=

7

2

，
故cos∠PGK=

( 3 )2+( 3 2 )2-( 7 2 )2

2× 3 × 3 2

=

2

3

．
即異面直線PG與DH所成的角的余弦值是

2

3

．
故答案為：

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問(wèn)題的一個(gè)重要技巧，這個(gè)技巧就是通過(guò)三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧．