Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+cosx-（

6

π

-

9

2

）x的導(dǎo)數(shù)為f′（x），且數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=nf′（

π

6

）+3（n∈N^*）．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求a₁的值：
（2）若對(duì)任意n∈N^*，都有a_n+2n²≥0成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，根據(jù)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可求a₁的值：
（2）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用不等式a_n+2n²≥0恒成立．利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答： 解：f′（x）=

1

x

-sinx-

6

π

+

9

2

，則f′（

π

6

）=4；
故a_n+1+a_n=πf′（

π

6

）+3=4n+3，
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
則a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd，
則a_n+1+a_n=a₁+（n-1）d+a₁+nd=2a₁+（2n-1）d=4n+3，
解得d=2，a₁=

5

2

．

（2）由a_n+1+a_n=4n+3，a_n+2+a_n+1=4n+7，
兩式相減得a_n+2-a_n=4，
故數(shù)列{a_2n-1}是首項(xiàng)為a₁，公差為4的等差數(shù)列，
數(shù)列{a_2n}是首項(xiàng)為a₂，公差為4的等差數(shù)列，
又a₁+a₂=7，∴a₂=7-a₁，
∴a_n=

2n-2+a1， n為奇數(shù) 2n+3-a1， n為偶數(shù)

．
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=2n-2+a₁，由a_n+2n²≥0成立，
即2n-2+a₁+2n²≥0，
轉(zhuǎn)化為a₁≥-2n²-2n+2，恒成立，
設(shè)f（n）=-2n²-2n+2=-（n+

1

2

）²+

5

2

，
∴f（n）_max=f（1）=-2，
∴a₁≥-2．
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=2n+3-a₁，由a_n+2n²≥0成立，
即2n+3-a₁+2n²≥0，
轉(zhuǎn)化為-a₁≥-2n²-2n-3，恒成立，
設(shè)g（n）=-2n²-2n-3=-（n+

1

2

）²-

5

2

，
∴g（n）_max=g（2）=-15，
∴-a₁≥-15．
即a₁≤15，綜上-2≤a₁≤15，
即a₁的取值范圍是[-2，15]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用已經(jīng)遞推數(shù)列的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力，求出數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．