Question

已知f₁（x）=sinx+cosx，記f₂（x）=f′₁（x），f₃（x）=f′₂（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x），（ n∈N^*，n≥2）．則f₁（

π

4

）+f₂（

π

4

）+…+f₂₀₁₀（

π

4

）=

 

．

Answer 1

分析：先求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），觀察所求的結(jié)果，歸納其中的周期性規(guī)律，求解即可．

解答：解：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴f₁（

π

4

）+f₂（

π

4

）++f₂₀₀₉（

π

4

）+f2010(

π

4

)=f₁（

π

4

）+f2(

π

4

)=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、周期性、及觀察歸納思想的運(yùn)用．