Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足b_n=2log₂（a_n+1-n），證明：（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

）＞

n+1

對一切n∈N^*恒成立．

Answer 1

分析：（1）先對關(guān)系式a_n+1=a_n+2ⁿ+1整理可得到數(shù)列{a_n-2ⁿ}為等差數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列{a_n-2ⁿ}的通項(xiàng)公式，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可得到b_n的表達(dá)式，然后代入到（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

）中，利用數(shù)學(xué)歸納法來進(jìn)行證明．

解答：解：（1）（a_n+1-2ⁿ⁺¹）-（a_n-2ⁿ）=a_n+1-a_n-2ⁿ=1
故數(shù)列{a_n-2ⁿ}為等差數(shù)列，且公差d=1．
a_n-2ⁿ=（a₁-2）+（n-1）d=n-1，a_n=2ⁿ+n-1；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ+n-1，∴b_n=2log₂（a_n+1-n）=2_n
（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

）
=（1+

1

2

）（1+

1

4

）…（1+

1

2n

）＞

n+1

（1）當(dāng)n=1時(shí)，（1+

1

2

）=

3

2

＞

1+1

=

2

，不等式成立，
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)不等式成立，
即（1+

1

2

）（1+

1

4

）（1+

1

2k

）＞

k+1

，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
（1+

1

2

）（1+

1

4

）（1+

1

2k

）（1+

1

2(k+1)

）
＞（1+

1

2(k+1)

）=

2k+3

2 k+1

=

k+ 3 2

k+1

=

(k+ 3 2 )2

k+1

=

k2+3k+ 9 4

k+1

＞

k2+3k+2

k+1

=

(k+1)(k+2)

k+1

=

k+2

=

(k+1)+1

這說明，當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立
綜上可知，對于Vn∈N^*，原不等式均成立．

點(diǎn)評：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野．