Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC=16，PA=PC=10．
（1）設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG∥平面BOE；
（2）在△ABO內(nèi)是否存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE，若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)M，并求FM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）取PE中點(diǎn)H，連接FH、GH，利用三角形中位線定理，結(jié)合平面與平面平行的判定定理，證出平面BEO∥平面FGH，進(jìn)而可得FG∥平面BOE；
（2）等腰Rt△ABC證出BO⊥AC，從而得到BO⊥平面APC，所以BO⊥PQ，過P在平面APC內(nèi)作PQ⊥EO，交AO于Q，連接BQ，取BQ中點(diǎn)M，連接FM．可得PQ⊥平面BEO且FM∥PQ，得FM⊥平面BEO，所以BQ中點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)M．再利用解三角形的知識(shí)，可算出PQ=

15

2

，得到FM=

15

4

．

解答：解：（1）取PE中點(diǎn)H，連接FH、GH，
∵F，H分別為PB，PE中點(diǎn)，∴△PBE中，F(xiàn)H∥BE，
∵FH?平面BEO，BE?平面BEO，∴FH∥平面BEO
同理，可得HG∥平面BEO
∵FH∩HG=H，F(xiàn)H、HG?平面FGH
∴平面BEO∥平面FGH，
∵FG?平面FGH，∴FG∥平面BEO．   …（5分）
（2）∵△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且O為AC中點(diǎn)，∴BO⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABC，BO?平面ABC，平面ABC∩平面APC=AC，
∴BO⊥平面APC．結(jié)合PQ?平面APC，得BO⊥PQ
過P在平面APC內(nèi)作PQ⊥EO，交AO于Q，連接BQ，取BQ中點(diǎn)M，連接FM，
∵BO∩EO=O，BO、EO?平面BEO，∴PQ⊥平面BEO，
∵△PBQ中，點(diǎn)F、M分別為PB、QB的中點(diǎn)，
∴FM∥PQ，且FM=

1

2

PQ
結(jié)合PQ⊥平面BEO，得FM⊥平面BOE，即BQ中點(diǎn)M即為所求．
Rt△PCQ中，cos∠PCQ=

162+102-102

2×16×10

=

4

5

，得CQ=

5

4

PC=

25

2

∴PQ=

CQ2-PQ2

=

15

2

，可得FM=

1

2

PQ=

15

4

因此，在平面ABC內(nèi)，存在△ABO的中線BQ上的點(diǎn)M，滿足M為BQ的中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)M⊥平面BOE，此時(shí)FM=

15

4

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊三棱錐，求證線面平行并探索了線面垂直，著重考查了直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，以及線面平行的判定等知識(shí)，屬于中檔題．