Question

設（5x-

1

x

）ⁿ的展開式的各項系數和為M，二項式系數和為N，若M-N=240，則展開式中x的系數為

 

．

Answer 1

分析：根據M-N=240，解得 2ⁿ 的值，可得 n=4．再求出（5x-

1

x

）ⁿ的展開式的通項公式，令x的冪指數等于1，求得r的值，即可求得展開式中x的系數．

解答：解：由于（5x-

1

x

）ⁿ的展開式的各項系數和M與變量x無關，故令x=1，即可得到展開式的各項系數和M=（5-1）ⁿ=4ⁿ．
再由二項式系數和為N=2ⁿ，且M-N=240，可得 4ⁿ-2ⁿ=240，即 2²ⁿ-2ⁿ-240=0．
解得 2ⁿ=16，或 2ⁿ=-15（舍去），∴n=4．
（5x-

1

x

）ⁿ的展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 4

•（5x）^4-r•（-1）^r•x-

r

2

=（-1）^r•

C

r 4

•5^4-r•x4-

3r

2

．
令4-

3r

2

=1，解得 r=2，∴展開式中x的系數為 （-1）^r•

C

r 4

•5^4-r=1×6×25=150，
故答案為 150•

點評：本題主要考查二項式的各項系數和與二項式系數和的關系，二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．