Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，且，

（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列

（2）求通項(xiàng)與前n項(xiàng)的和；

（3）設(shè)若集合M=恰有4個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2），；（3）.

【解析】

試題分析：（1）可以根據(jù)等比數(shù)列的定義證明，用后項(xiàng)比前項(xiàng)，即證是常數(shù)，這由已知易得，同時(shí)要說(shuō)明；（2）由（1）是公比為的等比數(shù)列，因此它的通項(xiàng)公式可很快求得，即，從而，這個(gè)數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得，因此其前項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求出；（3）這里我們首先要求出，由（2）可得，集合M=恰有4個(gè)元素，即中只有4個(gè)不同的值不小于，故要研究數(shù)列中元素的大小，可從單調(diào)性考慮，作差，可見，，再計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，因此應(yīng)該滿足．

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014050304091619412987/SYS201405030410314285167302_DA.files/image023.png">，當(dāng)時(shí)，.

又，（）為常數(shù)，

所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

（2）由是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列得，

所以.

由錯(cuò)項(xiàng)相減得.

（3）因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014050304091619412987/SYS201405030410314285167302_DA.files/image033.png">，所以

由于

所以，，.

因?yàn)榧��?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014050304091619412987/SYS201405030410314285167302_DA.files/image038.png">恰有4個(gè)元素，且，

所以.

考點(diǎn)：（1）等比數(shù)列的定義；（2）錯(cuò)位相減法求和；（3）數(shù)列的單調(diào)性．