Question

6．曲線y=e^x上的點(diǎn)到直線y=x的距離的最小值是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{e}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{e}}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)與直線y=x平行且與曲線y=e^x相切于點(diǎn)P（x₀，y₀）的直線l的方程為：y=x+m．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得x₀=0，∴切點(diǎn)為P（0，1），求出點(diǎn)P到直線y=x的距離d即可．

解答 解：設(shè)與直線y=x平行且與曲線y=e^x相切于點(diǎn)P（x₀，y₀）的直線l的方程為：y=x+m．
y′=e^x，∴${e}^{{x}_{0}}$=1，解得x₀=0，∴切點(diǎn)為P（0，1），
則點(diǎn)P到直線y=x的距離d=$\frac{|0-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即為所求的最小值．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、相互平行的直線的距離，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．