【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0)的定義域?yàn)?/span>R,最小正周期為π,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有成立.
(1)求實(shí)數(shù)a和b的值;
(2)作出函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上的大致圖象;
(3)若兩相異實(shí)數(shù)x1、x2∈(0,π),且滿足f(x1)=f(x2),求f(x1+x2)的值.
【答案】(1)a=2,b=2.(2)見解析 (3)f(x1+x2)=2.
【解析】
(1)將f(x)=asinωx+bcosωx化為f(x)sin(ωx+φ),由題意可得,從而可求得a和b的值;
(2)由f(x)=4sin(2x)利用五點(diǎn)作圖法即可作出其大致圖象;
(3)當(dāng)0<x1<x2時(shí),x1+x2,當(dāng)x1<x2<π時(shí),x1+x2,從而可求得f(x1+x2)的值.
解(1)∵f(x)=asinωx+bcosωxsin(ωx+φ)(ω>0),
又f(x)≤f()=4恒成立,
∴4,即a2+b2=16.…①
∵f(x)的最小正周期為π,
∴ω2,
即f(x)=asin2x+bcos2x(ω>0).
又f(x)max=f()=4,
∴asinbcos4,
即ab=8.…②
由①、②解得a=2,b=2.
(2)由(1)知f(x)=2sin2x+2cos2x=4sin(2x).
∵0<x<π,
∴2x,列表如下:
∴函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:
(3)∵f(x1)=f(x2),由f(x)=4sin(2x)知,f(0)=f()=2,
如圖:
∴當(dāng)0<x1<x2時(shí),x1+x2=2,
∴f(x1+x2)=f()=42;
當(dāng)x1<x2<π時(shí),x1+x2=2,
∴f(x1+x2)=f()=4sin2
綜上,f(x1+x2)=2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)任意實(shí)數(shù),定義函數(shù),已知函數(shù),,記.
(1)若對(duì)于任意實(shí)數(shù),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,且,求使得等式成立的的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,求在區(qū)間上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值.
()若對(duì),恒成立,求的取值范圍.
()求證:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解答下列各題:
(1)已知扇形的周長為10cm,面積為4cm2,求扇形圓心角的弧度數(shù).
(2)已知一扇形的圓心角是72°,半徑等于20cm,求扇形的面積.
(3)已知一扇形的周長為40cm,求它的半徑和圓心角取什么值時(shí),才能使扇形的面積最大?最大面積是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某化工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場要求,雜質(zhì)含量不能超過0.1%,若初始溶液含雜質(zhì)2%,每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少.
(1)寫出雜質(zhì)含量y與過濾次數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式;
(2)過濾7次后的雜質(zhì)含量是多少?過濾8次后的雜質(zhì)含量是多少?至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<),已知函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為,且圖象關(guān)于點(diǎn)M(-,0)對(duì)稱.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),則下面結(jié)論正確的是( )
A. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線C2
B. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度,得到曲線C2
C. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線C2
D. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度,得到曲線C2
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