Question

若函數(shù)f（x）=3sin（2x+φ）對(duì)任意x都有f(

π

3

-x)=f(

π

3

+x)．
（1）求f(

π

3

)的值．（2）求φ的最小正值．（3）函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f(

π

3

-x)=f(

π

3

+x)可知x=

π

3

是f（x）的對(duì)稱軸，進(jìn)而可推斷它在對(duì)稱軸處有最大或最小值，進(jìn)而求得f(

π

3

)值．（2）把x=

π

3

代入函數(shù)f（x），再根據(jù)f(

π

3

)=±3進(jìn)而可求得φ．
（3）根據(jù)函數(shù)圖象的變換原則可知，函數(shù)f（x）的圖象由函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

5π

6

個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

倍，把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來3倍得到的．

解答：解：（1）由f(

π

3

-x)=f(

π

3

+x)，得x=

π

3

是f（x）的對(duì)稱軸，它在對(duì)稱軸處有最大或最小值，∴f(

π

3

)=±3；
（2）由（1）得3sin(2•

π

3

+φ)=±3，∴sin(

2π

3

+φ)=±1，于是

2π

3

+φ=kπ+

π

2

，
∴φ=kπ-

π

6

，取k=1，得φ的最小正值為

5π

6

；
（3）由（2）得f(x)=3sin(2x+

5π

6

)，把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

5π

6

個(gè)單位，
得y=sin(x+

5π

6

)，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

倍得y=sin(2x+

5π

6

)，后把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來3倍即得函數(shù)f(x)=3sin(2x+

5π

6

)的圖象

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換和圖象的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．