Question

4．已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在x∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換，化簡函數(shù)f（x），求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范圍，從而求出f（x）的取值范圍，即得f（x）的最值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1
=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-1
=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為
T=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）因為x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
所以2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
所以sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
所以f（x）∈[-1，2]，
即函數(shù)f（x）在x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值為2，最小值為-1．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與求值的應用問題，也考查了數(shù)據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，是基礎題目．