Question

12．已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$滿足：$\overrightarrow{OA}-[{y+2f'（1）}]\overrightarrow{OB}+ln（x+1）\overrightarrow{OC}=0$．則函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式f（x）=ln（x+1）．

Answer 1

分析 利用 A、B、C共線時(shí)，$\overrightarrow{OA}$=λ$\overrightarrow{OB}$+（1-λ）$\overrightarrow{OC}$，建立等式①，對(duì)①求導(dǎo)數(shù)得到f′（1）的值，再把此值代入①，求出f（x）的解析式．

解答 解：∵A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，
向量$\overrightarrow{OA}$滿足：$\overrightarrow{OA}$=[y+2f′（1）]$\overrightarrow{OB}$-ln（x+1）$\overrightarrow{OC}$，
∴y+2 f′（1）-ln（x+1）=1  ①，
對(duì)①求導(dǎo)數(shù)得 y′-$\frac{1}{x+1}$=0，
∴f′（1）=$\frac{1}{2}$，
代入①式得：f（x）=ln（x+1），
故答案為：f（x）=ln（x+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三個(gè)向量共線的性質(zhì)以及求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．