Question

某加油站擬造如圖所示的鐵皮儲(chǔ)油罐（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中儲(chǔ)油罐的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，l=2r-3（l為圓柱的高，r為球的半徑，l≥2）．假設(shè)該儲(chǔ)油罐的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為c千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元．設(shè)該儲(chǔ)油罐的建造費(fèi)用為y千元．
（1）寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（2）求該儲(chǔ)油罐的建造費(fèi)用最小時(shí)的r的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：應(yīng)用題

分析：第（1）問(wèn)要構(gòu)造y關(guān)開(kāi)x的函數(shù)，建造費(fèi)用y=圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為c×圓柱形部分的面積+半球形部分每平方米建造費(fèi)用為3×半球部分的面積；第（2）問(wèn)，根據(jù)第（1）問(wèn)中求出的解析式，建造費(fèi)用y是關(guān)于r的二次函數(shù)，通過(guò)分析對(duì)稱軸與定義域的關(guān)系求最值．

解答： 解：（1）y=2πrlc+4πr²•3，
y=（12π+4πc）r²-6πrc（r≥

5

2

）      …（6分）
（2）y=(12π+4πc)[r-

3c

(12+4c)

]2-

9πc2

12+4c

…（8分）
∵

3c

12+4c

=

3

4

(1-

3

c+3

)＜

3

4

，
∴y在[

5

2

，+∞)上是增函數(shù)   …（12分）
∴當(dāng)r=

5

2

時(shí)，儲(chǔ)油罐的建造費(fèi)用最�。�…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是應(yīng)用題，解決本題的關(guān)鍵是在理解意的基礎(chǔ)上構(gòu)建函數(shù)模型，在求函數(shù)最值時(shí)要注意函數(shù)的定義域；本題涉及的字母比較多，有一定的運(yùn)算量，屬于易錯(cuò)題．