Question

（2013•廣州二模）經(jīng)過點F （0，1）且與直線y=-1相切的動圓的圓心軌跡為M點A、D在軌跡M上，且關(guān)于y軸對稱，過線段AD （兩端點除外）上的任意一點作直線l，使直線l與軌跡M 在點D處的切線平行，設(shè)直線l與軌跡M交于點B、C．
（1）求軌跡M的方程；
（2）證明：∠BAD=∠CAD；
（3）若點D到直線AB的距離等于

2

2

|AD|，且△ABC的面積為20，求直線BC的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出動圓的圓心坐標，利用動圓經(jīng)過定點F（0，1），且與定直線：y=-1相切，列出方程化簡即可得到所求軌跡方程．
（2）由（1）得y=

1

4

x²，設(shè)D（x₀，

1

4

x

2 0

），由導數(shù)的幾何意義，得直線l的斜率，又A（-x₀，

1

4

x

2 0

），設(shè)C（x₁，

1

4

x

2 1

），B（x₂，

1

4

x

2 2

）．利用斜率公式得到x₁+x₂=2x₀．從而有k_AB=-k_BC，即可證得∠BAD=∠CAD．
（3）根據(jù)條件：點D到直線AB的距離等于

2

2

|AD|，可知∠BAD=45°，將直線AB的方程與x²=-4y聯(lián)立方程組，解得B點的坐標，求出|AB|，|AC|，最后根據(jù)△ABC的面積列出方程，解得x₀=±3，從而得出直線BC的方程．

解答：解：（1）設(shè)圓心坐標為（x，y），由題意動圓經(jīng)過定點F（0，1），且與定直線：y=-1相切，
所以

x2+(y-1)2

=|y+1|，
即（y-1）²+x²=（y+1）²，
即x²=4y．故軌跡M的方程為x²=4y．
（2）由（1）得y=

1

4

x²，∴y′=

1

2

x，
設(shè)D（x₀，

1

4

x

2 0

），由導數(shù)的幾何意義 得直線l的斜率為k_BC=

1

2

x0，
則A（-x₀，

1

4

x

2 0

），設(shè)C（x₁，

1

4

x

2 1

），B（x₂，

1

4

x

2 2

）．
則k_BC=

1 4 x 2 1 - 1 4 x 2 2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

1

2

x₀，∴x₁+x₂=2x₀．
k_AC=

1 4 x 2 1 - 1 4 x 2 0

x1+x0

=

x1-x0

4

，k_AB=

x2-x0

4

，
∴k_BC+_AB=

x1-x0

4

+

x2-x0

4

=

x1+x2-2x0

4

=0，∴k_AB=-k_BC．
∴∠BAD=∠CAD．
（3）點D到直線AB的距離等于

2

2

|AD|，可知∠BAD=45°，
不妨設(shè)C在AD上方，即x₂＜x₁，直線AB的方程為：y-

1

4

x

2 0

=-（x+x₀），與x²=-4y聯(lián)立方程組，
解得B點的坐標為（x₀-4，

1

4

(x0-4)2），∴|AB|=

2

|x₀-4-（-x₀）|=2

2

|x₀-2|
由（2）知，∠CAD=∠BAD=45°，同理可得|AC|=2

2

|x₀+2|．
∴△ABC的面積為

1

2

×2

2

|x₀+2|×2

2

|x₀-2|=20．
解得x₀=±3．
當x₀=3時，B（（-1，

1

4

），K_BC=

3

2

，直線BC的方程為6x-4y+7=0；
當x₀=-3時，B（（-7，

49

4

），K_BC=-

3

2

，直線BC的方程為6x+4y-7=0；

點評：本題是中檔題，考查動點的軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查計算能力．