已知：a＞0，函數(shù)f（x）=ax-lnx．
（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）2+y2=1相切，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【答案】分析：（1）求出f′（x），把x=1代入即可得到切線的斜率，然后求出f（1）得到切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率與切點(diǎn)寫(xiě)出切線方程，又因?yàn)榍芯�與圓相切，則根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列出關(guān)于a的方程，求出a的值即可；（2）求出f′（x），根據(jù)a大于0來(lái)討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)時(shí)x的取值范圍即可得到函數(shù)的增減區(qū)間．
解答：解：（1）∵f（x）=ax-lnx
∴
又f（1）=a∴l(xiāng)的方程為：y-a=（a-1）（x-1）
即：（a-1）x-y+1=0
又l與圓（x+1）2+y2=1相切，
則圓心（-1，0）的直線l的距離等于半徑即，兩邊平方化簡(jiǎn)得：-4a+4=-2a+3，解得a=1；
（2）
∵a＞0，
∴又x＞0
∴當(dāng)
當(dāng)
∴f（x）增區(qū)間為，減區(qū)間為
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，要求學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)的條件，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知實(shí)數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有極大值32．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f(x)=
x3+
3a4
x
，|x|≥
a
2
49
4
a2x，|x|＜
a
2

（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若0＜a≤2，求f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值g（a）；
（3）是否存在常數(shù)t，使對(duì)于任意x∈(
a
2
，2t-
a
2
)(t＞
a
2
)時(shí)，f（x）f（2t-x）+f2（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t）恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知實(shí)數(shù)a＜0，函數(shù)f（x）=ax（x-1）2+a+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）有極大值-7，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知實(shí)數(shù)a＜0，函數(shù)f（x）=ax（x-1）2+a+1（x∈R）
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（-1，4）處的切線方程；
（2）若f（x）有極大值-2，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知實(shí)數(shù)a＞0，函數(shù)f(x)=
1-x2
1+x2
+a
1+x2
1-x2
．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（3）求實(shí)數(shù)a的范圍，使得對(duì)于區(qū)間[-
2
5
5
，
2
5
5
]上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）為邊長(zhǎng)的三角形．

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