Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求在點處的切線方程；

（2）求證：在上僅有個零點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出和，然后利用點斜式寫出所求切線的方程；

（2）利用當時，來說明函數(shù)在上沒有零點，并利用函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理證明出函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，并結(jié)合，可證明出函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.

（1），則，，.

因此，函數(shù)在點處的切線方程為，即；

（2）當時，，此時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點；

又，下面只需證明函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點.

，構(gòu)造函數(shù)，則，

當時，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，，由零點存在定理知，存在，使得，且當時，，當時，.

所以，函數(shù)在處取得極小值，則，

又，所以，由零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點.

綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點.