Question

（本小題滿分13分）
如圖,在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）中, , , , ,點(diǎn)是的中點(diǎn).

(Ⅰ) 求證:∥平面；
(Ⅱ)求AC₁與平面CC₁B₁B所成的角．

Answer 1

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ) AC₁與平面CC₁B₁B所成的角為60^O。

試題分析：（1）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連接DE，根據(jù)D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，可知DE∥AC₁，而DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，根據(jù)線面平行的判定定理可知AC₁∥平面CDB₁；（2）結(jié)合三棱柱的性質(zhì)可知∠AC₁C為AC₁與平面CC₁B₁B所成的角。
證明:   (Ⅰ) 令BC₁與CB₁的交點(diǎn)為E, 連結(jié)DE.
∵  D是AB的中點(diǎn), E為BC₁的中點(diǎn), ∴DE∥AC₁
∵ AC₁平面CDB₁, DE平面CDB₁,
∴AC₁∥平面CDB₁.   ………………6分
(Ⅱ) ∵ 三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱,
∴  C₁C⊥平面ABC, ∴C₁C⊥AC,
∵  AC="3," BC="4," AB=5,
∴ ,  ∴ ,
∴ AC⊥平面CC₁B₁B,
∴ ∠AC₁C為AC₁與平面CC₁B₁B所成的角
∵，
根據(jù)平面幾何知識得：∠AC₁C=60^O
∴AC₁與平面CC₁B₁B所成的角為60^O………13分
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是對于三棱柱性質(zhì)的熟練運(yùn)用和線面平行的判定定理的準(zhǔn)確的運(yùn)用和求解。