Question

9．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2acosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，bcosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，若函數(shù)f（x）的圖象在y軸上的截距為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，與y軸最鄰近的最高點是（$\frac{π}{12}$，1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)A為三角形的一個內(nèi)角，且f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求3sin²A-2sinAcosA的值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可得f（x）=acos2x+$\frac{2}$sin2x+a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由點（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在函數(shù)圖象上，可解得a，又由題意點（$\frac{π}{12}$，1）在函數(shù)圖象上，代入可解得b，即可求得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由已知及（1）可求sinA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），可得cosA，代入所求即可得解．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2acosx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，bcosx），
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=acos2x+$\frac{2}$sin2x+a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵函數(shù)f（x）的圖象在y軸上的截距為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即點（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在函數(shù)圖象上，
∴f（0）=acos0+$\frac{2}$sin0+a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=a+a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{2}$sin2x，
∵由題意點（$\frac{π}{12}$，1）在函數(shù)圖象上，
∴f（$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{π}{6}$+$\frac{2}$sin$\frac{π}{6}$=1，解得b=1，
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）∵f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=sin[2（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=sinA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴由A∈（0，π），可得cosA=$±\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴3sin²A-2sinAcosA=3×$\frac{4}{5}$-2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×（±$\frac{\sqrt{5}}{5}$）=$\frac{8}{5}$或$\frac{16}{5}$．

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及計算能力，屬于中檔題．