Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+

1

2

^|x|．
（1）解不等式：

2

2

≤f（x）≤

17

4

；
（2）若關(guān)于x的方程f（2x）+af（x）+4=0在（0，+∞）上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）將函數(shù)表示為分段函數(shù)形式，然后根據(jù)分段函數(shù)即可解不等式：

2

2

≤f（x）≤

17

4

；
（2）利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程形式，然后利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=2^x+

1

2

^|x|=2•2^x=2^x+1≤2，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x+（

1

2

）^x≥2

2x•( 1 2 )x

=2．
∴由不等式

2

2

≤f（x）≤

17

4

得：
當(dāng)x≤0等價(jià)為

2

2

≤2^x+1，即2 -

1

2

≤2^x+1，
∴x+1≥-

1

2

，即-

3

2

≤x≤0，
當(dāng)x＞0等價(jià)為2^x+（

1

2

）^x≤

17

4

，
設(shè)t=2^x，則t＞1，
∴t+

1

t

≤

17

4

，
即4t²-17t+4≤0，
解得

1

4

≤t≤4，此時(shí)1＜t≤4，
此時(shí)1＜2^x≤4，解得0＜x≤2．
綜上不等式的解為-

3

2

≤x≤2，即不等式的解集為{x|-

3

2

≤x≤2}．
（2）∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x+（

1

2

）^x．
∴f（2x）+af（x）+4=0在（0，+∞）上等價(jià)為：
[22x+(

1

2

)2x]+a[2x+(

1

2

)x]+4=0，
即[2x+(

1

2

)x]2+a[2x+(

1

2

)x]+2=0，①
設(shè)t=2x+(

1

2

)x，則當(dāng)x＞0時(shí)，t＞2，
此時(shí)方程①等價(jià)為t²+at+2=0，
即a=

-t2-2

t

=-(t+

2

t

)，
∵當(dāng)t＞2時(shí)，g（t）=t+

2

t

單調(diào)遞增，
∴g（t）＞g（2）=3，
∴-g（t）=-（t+

2

t

）＜-3，
∴要使a=

-t2-2

t

=-(t+

2

t

)有解，則a＜-3，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜-3．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的解法以及基本不等式的應(yīng)用，將函數(shù)表示為分段函數(shù)形式，利用換元法是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．