Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x在點（0，f（0））處的切線方程是y=-2x+1，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ） 求實數(shù)a、b的值；
（Ⅱ） 求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ） 由f（x）=（x²+ax+b）e^x，得f'（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，因為函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線方程是y=-2x+1，故（0，f（0））適合方程y=-2x+1，且f′（0）=-2；聯(lián)立可得結果．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x²-3x+1）e^x，f'（x）=（x²-x-2）e^x=（x+1）（x-2）e^x，令f'（x）=0，得x₁=-1或x₂=2．再判斷這兩點左右導數(shù)的符號，求出極值．

解答： （Ⅰ） 由f（x）=（x²+ax+b）e^x，得f'（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x，
因為函數(shù)f（x）在點（0，f（0））處的切線方程是y=-2x+1，
所以

f(0)=1 f′(0)=-2

即

b=1 a+b=-2

解得a=-3，b=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x²-3x+1）e^x，f'（x）=（x²-x-2）e^x=（x+1）（x-2）e^x，
令f'（x）=0，得x₁=-1或x₂=2．
當x＜-1時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增；當-1＜x＜2時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減；當x＞2時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增，
故當x=-1時，函數(shù)f（x）取得極大值，f（x）_極大值=f(-1)=

5

e

；當x=2時，函數(shù)f（x）取得極小值，f（x）_極小值=f（2）=-e²．

點評：本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的關系，特別是曲線的切線與函數(shù)導數(shù)之間的關系，屬于中檔題．