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3.已知橢圓Cx2a2+y2b2=1ab0,一個頂點為A(2,0),離心率為22,直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M、N兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)△AMN的面積為425時,求k的值.

分析 (1)根據(jù)橢圓一個頂點為A (2,0),離心率為22,可建立方程組,從而可求橢圓C的方程;
(2)直線y=k(x-1)與橢圓C聯(lián)立,消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,從而可求|MN|,A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離,利用△AMN的面積,可求k的值.

解答 解:(1)∵橢圓一個頂點為A (2,0),離心率為22
{a=2ca=22a2=2+c2
∴b=2
∴橢圓C的方程為x24+y22=1;
(2)直線y=k(x-1)與橢圓C聯(lián)立{y=kx1x24+y22=1,消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k241+2k2
∴|MN|=1+k2×x1+x224x1x2=21+k24+6k21+2k2
∵A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離為d=|k|1+k2,
∴△AMN的面積S=12|MN|d=21+k24+6k21+2k2
=12|MN|d=12×21+k24+6k21+2k2×|k|1+k2=|k|4+6k21+2k2

∵△AMN的面積為425
425=|k|4+6k21+2k2
∴k=±2

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查三角形面積的計算,解題的關(guān)鍵是正確求出|MN|.

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