分析 (1)根據(jù)橢圓一個頂點為A (2,0),離心率為√22,可建立方程組,從而可求橢圓C的方程;
(2)直線y=k(x-1)與橢圓C聯(lián)立,消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,從而可求|MN|,A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離,利用△AMN的面積,可求k的值.
解答 解:(1)∵橢圓一個頂點為A (2,0),離心率為√22,
∴{a=2ca=√22a2=2+c2,
∴b=√2,
∴橢圓C的方程為x24+y22=1;
(2)直線y=k(x-1)與橢圓C聯(lián)立{y=k(x−1)x24+y22=1,消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2−41+2k2
∴|MN|=√1+k2×√(x1+x2)2−4x1x2=2√(1+k2)(4+6k2)1+2k2
∵A(2,0)到直線y=k(x-1)的距離為d=|k|√1+k2,
∴△AMN的面積S=12|MN|d=2√(1+k2)(4+6k2)1+2k2
=12|MN|d=12×2√(1+k2)(4+6k2)1+2k2×|k|√1+k2=|k|√4+6k21+2k2
∵△AMN的面積為4√25,
∴4√25=|k|√4+6k21+2k2
∴k=±√2.
點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查三角形面積的計算,解題的關(guān)鍵是正確求出|MN|.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -12 | B. | cos10° | C. | 12 | D. | -cos10° |
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