Question

已知實(shí)數(shù)a為(

x

2

-

2

x

)7的展開(kāi)式中x²的系數(shù)，則

∫

-32a 1

(ex-

1

x

)dx=

e⁷-ln⁷-e

．

Answer 1

分析：先求出二項(xiàng)展開(kāi)式得通項(xiàng)，令x得指數(shù)為2求出r，進(jìn)而求出a，再代入

∫

-32a 1

(ex-

1

x

)dx利用定積分知識(shí)求解即可．

解答：解：因?yàn)?span id="1p5q0vv" class="MathJye">(

x

2

-

2

x

)7的展開(kāi)式得通項(xiàng)為：T_r+1=

C

r 7

(

x

2

) 7-r•(-

2

x

) r=（-1）^r

C

r 7

•(

1

2

)7-r•2^r•x

7-r

2

•x^-r；
令

7-r

2

-r=2⇒r=1．
∴展開(kāi)式中x²的系數(shù)為：（-1）¹×

C

1 7

•(

1

2

)6•2¹=-

7

32

．
∴a=-

7

32

．
∴

∫

-32a 1

(ex-

1

x

)dx=∫

7 1

（e^x-

1

x

）dx═（e^x-lnx）|

7 1

=（e⁷-ln7）-（e¹-ln1）=e⁷-ln7-e．
故答案為：e⁷-ln7-e．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式的應(yīng)用問(wèn)題．解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟悉求二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，并會(huì)用通項(xiàng)求解特定項(xiàng)．