Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若時(shí)，關(guān)于的方程有唯一解，求的值；

（3）當(dāng)時(shí)，證明: 對(duì)一切，都有成立．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，在上是增函數(shù)，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先利用導(dǎo)數(shù)公式求出,然后討論是奇數(shù)還是偶數(shù)，化簡函數(shù)，然后再定義域內(nèi)求導(dǎo)數(shù)大于或是導(dǎo)數(shù)小于的解集，確定單調(diào)區(qū)間；（2）將唯一解問題轉(zhuǎn)化為在定義域內(nèi)和軸有唯一交點(diǎn)問題，求在定義域內(nèi)，導(dǎo)數(shù)為的值有一個(gè)，分析函數(shù)是先減后增，所以如果有一個(gè)交點(diǎn)，那么函數(shù)在定義域內(nèi)的極小值等于，即可；（3）轉(zhuǎn)化為左邊函數(shù)的最小值大于有邊函數(shù)的最大值，要對(duì)兩邊函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.

試題解析：解：（1）由已知得且．

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，則在上是增函數(shù);

當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，則．

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

故當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)． 4分

（2）若，則．

記 ,

若方程有唯一解，即有唯一解； 令,得．因?yàn)?/span>，所以（舍去），． 當(dāng)時(shí)，，在是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞增函數(shù)．

當(dāng)時(shí), ，． 因?yàn)?/span>有唯一解，所以．

則 即 設(shè)函數(shù)，

因?yàn)樵?/span>時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解．

因?yàn)?/span>，所以方程的解為，從而解得 10分

（3）當(dāng)時(shí)， 問題等價(jià)證明

由導(dǎo)數(shù)可求的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，

設(shè)，則，

易得，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到，

從而對(duì)一切，都有成立．故命題成立． 16分