Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωx-2sin²

ωx

2

+m（ω＞0）的最小正周期為3π，且當x∈[0，π]時，函數(shù)f（x）的最小值為0．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）在△ABC中，角角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若f（c）=1且a+b=10，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：解三角形

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡，根據(jù)函數(shù)的周期求得ω，根據(jù)函數(shù)的最小值求得m，則函數(shù)的解析式可得．
（2）先根據(jù)f（c）=1，求得C，進而根據(jù)三角形面積公式和基本不等式求得三角形面積的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinωx-2sin²

ωx

2

+m=

3

sinωx-cosωx+m-1=2sin（ωx-

π

6

）+m-1，
∵函數(shù)的最小正周期為3π，
∴

2π

ω

=3π，ω=

2

3

∴f（x）=2sin（

2

3

x-

π

6

）+m-1，
∵x∈[0，π]，
∴

2

3

x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，
∴f（x）_min=-

1

2

×2+m-1=0，
∴m=2，
∴f（x）=2sin（

2

3

x-

π

6

）+m-1．
（2）f（c）=2sin（

2

3

C-

π

6

）+1=1，
∴sin（

2

3

C-

π

6

）=0，
∴

2

3

C-

π

6

=0，C=

π

4

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

2

4

ab≤

2

4

•

(a+b)2

4

=

2

4

×

100

4

=

25 2

4

，
即三角形面積最大值為

25 2

4

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的綜合運用．