Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，EF⊥PB交PB于點F．
（1）若PD=DC=2，求三棱錐A-BDE的體積；
（2）證明PA∥平面EDB；
（3）證明PB⊥平面EFD．

Answer 1

分析：（1）設CD的中點為H，連接EH，說明EH⊥底面ABCD，三棱錐E-ABD的高是EH，利用V_E-ABD=V_A-BDE，求出三棱錐A-BDE的體積．
（ 2）證明：連接AC，AC交BD于O，連EO證明PA∥EO，而EO?平面EDB，且PA?平面EDB，得到PA∥平面EDB．
（ 3）證明DE⊥PC．BC⊥DE．DE∩EF=E，然后證明PB⊥平面EFD．

解答：解：（1）設CD的中點為H，連接EH，由題意得EH∥PD，且EH=

1

2

PD=1，
因為PD⊥平面ABCD，所以EH⊥底面ABCD，
故三棱錐E-ABD的高是EH，
其體積為：VE-ABD=

1

3

S△ADE•EH=

1

3

×

1

2

×22×1=

2

3

．
因為V_E-ABD=V_A-BDE所以三棱錐A-BDE的體積為：

2

3

．
 （ 2）證明：連接AC，AC交BD于O，連EO，∵底面ABCD是正方形，
∴點O是AC中點，在△PAC中，EO是中位線，
∴PA∥EO，而EO?平面EDB，且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（ 3）證明：∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，
∴PD⊥DC．
∵PD=DC可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，
∴DE⊥PC．①
同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC，
∵底面ABCD是正方形有DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC，而DE?平面PDC，
∴BC⊥DE．②
由①②得DE⊥平面PBC，而PB?面PBC，
∴DE⊥PB，又EF⊥PB且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．

點評：本題考查直線與平面的平行，直線與平面的垂直，幾何體的體積的求法，考查計算能力，空間想象能力．