Question

已知曲線 y=

1

3

x3+2x-

2

3

．
（1）求曲線在點P（2，6）處的切線方程；
（2）求曲線過點P（2，6）的切線方程．

Answer 1

分析：（1）根據求導公式和法則求出函數的導數，再把x=2代入導函數求出切線的斜率，再代入點斜式化為一般式；
（2）由曲線方程設出切點的坐標，再求出切線的斜率，再把斜率和切點的坐標代入點斜式化簡，由切線過點P再把P的坐標代入切線方程，求出切點的橫坐標代入切線方程，最后化為一般式．

解答：解：（1）由題意得，y′=x²+2，
∴在點P（2，6）處的切線的斜率k=y′|_x=2=6，
∴在點P（2，6）處的切線方程為：y-6=6（x-2）
即 6x-y-6=0，
（2）設曲線y=

1

3

x3+2x-

2

3

與過點P（2，6）的切線相切于點A(x0，

1

3

x

3 0

+2x0-

2

3

)，
則切線的斜率k=y′|x=x0=

x

2 0

+2，
∴切線方程為y-(

1

3

x

3 0

+2x0-

2

3

)=(

x

2 0

+2)(x-x0)，
即y=(

x

2 0

+2)x-

2

3

x

3 0

-

2

3

  ①，
∵點P（2，6）在切線上，∴6=2(

x

2 0

+2)-

2

3

x

3 0

-

2

3

，
即

x

3 0

-3

x

2 0

+4=0，∴

x

3 0

+

x

2 0

-4

x

2 0

+4=0，
∴

x

2 0

(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，化簡得(x0+1)(x0-2)2=0
解得x₀=-1或x₀=2，代入①得，y=3x或y=6x-6，
故所求的切線方程為3x-y=0，6x-y-6=0．

點評：本題考查了導數的幾何意義和“過”、“再”某點處的切線區(qū)別，關鍵是利用某點處的切線的斜率是該點出的導數值，以及切點在曲線上和切線上．