Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=|4x+a|-2a，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤6的解集為{x-1≤x≤2}的子集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）若方程f（x）-x+1=0只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得不等式即|4x+a|≤6+2a的解集為{x-1≤x≤2}的子集，分類(lèi)討論求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）（2）由題意可得函數(shù)f（x）=|4x+a|-2a的圖象和直線(xiàn)y=x-1只有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線(xiàn)y=x-1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-$\frac{a}{4}$，-2a）時(shí)，滿(mǎn)足條件，由此求得a的值．

解答 解：（1）不等式即|4x+a|≤6+2a，則此不等式的解集為{x-1≤x≤2}的子集．
當(dāng)6+2a＜0，即a＜-3時(shí)，解集為空集，符合題意，故a＜-3，符合題意．
當(dāng)6+2a=0，即a=-3時(shí)，解集為{$\frac{3}{4}$}，也符合題意，故a=-3符合題意．
當(dāng)6+2a＞0，即a＞-3時(shí)，解得-$\frac{3a+6}{4}$≤x≤$\frac{6+a}{4}$，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3a+6}{4}≥-1}\\{\frac{6+a}{4}≤2}\end{array}\right.$，求得a≤-$\frac{2}{3}$．
又a＞-3，故-3＜a≤-$\frac{2}{3}$．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞．-$\frac{2}{3}$]．
（2）由題意可得函數(shù)f（x）=|4x+a|-2a的圖象和直線(xiàn)y=x-1只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：
故當(dāng)直線(xiàn)y=x-1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-$\frac{a}{4}$，-2a）時(shí)，滿(mǎn)足條件，
故有-2a=-$\frac{a}{4}$-1，求得a=$\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．