Question

【題目】已知圓：()，定點(diǎn)，，其中為正實(shí)數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，判斷直線與圓的位置關(guān)系；

（2）當(dāng)時(shí)，若對于圓上任意一點(diǎn)均有成立(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù)的值；

（3）當(dāng)時(shí)，對于線段上的任意一點(diǎn)，若在圓上都存在不同的兩點(diǎn)，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 相離. (2) ，．(3)

【解析】

（1）利用圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系即可得到判斷；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行化簡整理，由點(diǎn)P的任意性即可得實(shí)數(shù)m，λ的值；（3）設(shè)出點(diǎn)P和點(diǎn)N的坐標(biāo)，表示出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，M、N滿足圓C的方程，根據(jù)方程組有解說明兩圓有公共點(diǎn)，利用兩圓位置關(guān)系要求及點(diǎn)P滿足直線AB的方程，解出半徑的取值范圍.

解: (1) 當(dāng)時(shí),圓心為,半徑為,

當(dāng)時(shí),直線方程為,

所以,圓心到直線距離為,

因?yàn)?/span>,所以,直線與圓相離.

（2）設(shè)點(diǎn)，則，，

∵，∴，

，…………

由得，， ∴，

代入得， ，

化簡得，…………

因?yàn)?/span>為圓上任意一點(diǎn)，所以，………

又，解得，．…………………

(3)法一:直線的方程為，設(shè)()，，

因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，

又都在圓：上，所以

即……………………

因?yàn)樵撽P(guān)于的方程組有解，即以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，為半徑的圓有公共點(diǎn)，

所以，，

又為線段上的任意一點(diǎn)，所以對所有成立．

而 在上的值域?yàn)?/span>，

所以所以．………

又線段與圓無公共點(diǎn)，所以，∴.

故實(shí)數(shù)的取值范圍為． ……………

法二:過圓心作直線的垂線，垂足為，設(shè)，，則則消去得， ，

直線方程為 點(diǎn)到直線的距離為

且又 為線段上的任意一點(diǎn)， …

，，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為．