Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+

1

an

=2S_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{S_n²}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求解關(guān)于n的不等式a_n+1（S_n-1+S_n）＞4n-8；
（Ⅲ）記數(shù)列bn=2S_n³，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，證明：1-

1

n+1

＜T_n＜

3

2

-

1

n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)得S_n²-S_n-1²=1．從而數(shù)列{S_n²}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（I）知S_n²=n，從而S_n+1²-S_n²＞4n-8，即1＞4n-8，故可解；
（Ⅲ）∵

1

bn

=

1

2n n

＜

1

n( n + n-1 )

＜

1

n-1

-

1

n

可以證明Tn＜

3

2

-

1

n

，同理可證1-

1

n+1

＜T_n

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+

1

an

=2S_n，∴a_n²+1=2a_nS_n．當(dāng)n≥2時(shí)，（S_n-S_n-1）²+1=2（S_n-S_n-1）S_n，
化簡(jiǎn)得S_n²-S_n-1²=1．由a₁+

1

a1

=2a₁，得a₁²=S₁²．
∴數(shù)列{S_n²}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（I）知S_n²=n，又由a_n+1（S_n-1+S_n）＞4n-8，得S_n+1²-S_n²＞4n-8，即1＞4n-8，∴n＜

9

4

．
又n∈N^*，∴不等式的解集為{1，2}
（Ⅲ）當(dāng)n≥2時(shí)，∵

1

bn

=

1

2n n

＜

1

n( n + n-1 )

＜

1

n-1

-

1

n

，∴Tn＜

3

2

-

1

n

，
∵

1

bn

=

1

2n n

＞

1

n( n + n+1 )

＜

1

n

-

1

n+1

，∴Tn＞1-

1

n+1

∴1-

1

n+1

＜T_n＜

3

2

-

1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的證明，解不等式，要注意數(shù)列的特殊性，對(duì)于不等式的證明，利用了放縮法，有一定的技巧．