Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，右焦點(diǎn)為F（

3

，0），
一條漸近線的方程為y=-

2

2

x，點(diǎn)P為雙曲線上不同于A、B的任意一點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線交雙曲線于另一點(diǎn)Q．
（I）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求直線AP與直線BQ的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)N（l，0）作直線l與（Ⅱ）中軌跡E交于不同兩點(diǎn)R、S，已知點(diǎn)T（2，0），設(shè)

NR

=λ

NS

，當(dāng)λ∈[-2，-1]時(shí)，求|

TR

+

TS

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用雙曲線的右焦點(diǎn)為F（

3

，0），一條漸近線的方程為y=-

2

2

x，結(jié)合c²=a²+b²，可求雙曲線C的方程；（Ⅱ）由A，M，P三點(diǎn)共線、B，M，Q三點(diǎn)共線，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用雙曲線方程，可得直線AP與直線BQ的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅲ）①若直線l的斜率為0，不滿足；
②當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)方程為x=ty+1，代入

x2

2

+y2=1，利用韋達(dá)定理，及

NR

=λ

NS

，|

TR

+

TS

|2=[t（y₁+y₂）-2]²+（y₁+y₂）²=16-

28

t2+2

+

8

(t2+2)2

，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）∵雙曲線的右焦點(diǎn)為F（

3

，0），一條漸近線的方程為y=-

2

2

x，
∴c=

3

，

b

a

=

2

2

∵c²=a²+b²，∴a=

2

，b=1
∴雙曲線C的方程為

x2

2

-y2=1；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），M（x，y），A（-

2

，0)，B（

2

，0)
由A，M，P三點(diǎn)共線得：（x₀+

2

）y=y₀（x+

2

）
由B，M，Q三點(diǎn)共線得：（x₀-

2

）y=-y₀（x-

2

）
∴x0=

2

x

，y0=

2 y

x

∵

x02

2

-y02=1
∴

x2

2

+y2=1
∴直線AP與直線BQ的交點(diǎn)M的軌跡E的方程為

x2

2

+y2=1(x≠0，y≠0)；
（Ⅲ）①若直線l的斜率為0，則R（-

2

，0），S（

2

，0），N（1，0），
∴

NR

=(-

2

-1，0)，

NS

=(

2

-1，0)
∴λ=-(3+2

2

)∉[-2，-1]
②當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)方程為x=ty+1，代入

x2

2

+y2=1，可得（t²+2）y²+2ty-1=0
設(shè)R（x₁，y₁），S（x₂，y₂）（y₁≠0，y₂≠0），則y₁+y₂=-

2t

t2+2

，y₁y₂=-

1

t2+2

∵

NR

=λ

NS

，∴y₁=λy₂，∴λ=

y1

y2

，λ＜0
∴λ+

1

λ

+2=

y1

y2

+

y2

y1

+2=

(y1+y2)2

y1y2

=-

4t2

t2+2

∵λ∈[-2，-1]
∴-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0
∴-

1

2

≤-

4t2

t2+2

≤0
∴0≤t²≤

2

7

∴|

TR

+

TS

|2=[t（y₁+y₂）-2]²+（y₁+y₂）²=16-

28

t2+2

+

8

(t2+2)2

令n=

1

t2+2

，則n∈[

7

16

，

1

2

]
∴|

TR

+

TS

|2=8n²-28n+16=8（n-

7

4

）²-

17

2

∴n=

1

2

時(shí)，|

TR

+

TS

|2_min=4；n=

7

16

時(shí)，|

TR

+

TS

|2max=

169

32

∴|

TR

+

TS

|∈[2，

13 2

8

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程，考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性強(qiáng)．