Question

11．在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，M為BC的中點，BN⊥AM，且交AC于點N，用解析法證明：∠CMN=∠BMA．

Answer 1

分析 以B為原點，BC為x軸，BA為y軸建立平面直角坐標系，設(shè)A坐標（0，2），則B坐標（2，0），M坐標（1，0），畫出相應(yīng)的圖象，分別求出直線AM，AC，BN的直線方程，求出點N的坐標，根據(jù)三角函數(shù)值即可證明．

解答 證明：以B為原點，BC為x軸，BA為y軸建立平面直角坐標系，
設(shè)A坐標（0，2），則B坐標（2，0），M坐標（1，0），
設(shè)直線AM方程為y=kx+b，把A、M代入得：y=-2x+2，
同樣解得AC方程為y=-x+2，
∵BN⊥AM，
∴直線BN的斜率為$\frac{1}{2}$且過原點，即BN方程為y=$\frac{1}{2}$x，
聯(lián)立AC和BN得方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得點N坐標為（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），
tanCMN=$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}$=2，tanBMA=$\frac{2}{1}$=2，
∴∠CMN=∠BMA．

點評 本題借助于平面直角坐標系，利用解析法證明角相等的問題，關(guān)鍵是建立坐標系，構(gòu)造點的坐標，屬于中檔題．