已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2，，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明；
（2）若f（3）=5，求滿足f（a2-2a-2）＜3的實(shí)數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）f（x）在R上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性的定義證明．設(shè)x1＜x2，x1、x2∈R，則x2-x1＞0，所以f（x2-x1）＞2，從而有f（x2）+f（-x1）＞4，再取x=y=0得：f（0）=2，再取y=-x得：f（-x）=4-f（x），從而可得f（x2）＞f（x1）；（2）由f（3）=5，可得f（1）=3，于是不等式f（a2-2a-2）＜3等價(jià)于f（a2-2a-2）＜f（1）．利用f（x）在R上遞增，可得a2-2a-2＜1，從而可得滿足f（a2-2a-2）＜3的實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）f（x）在R上單調(diào)遞增
證明：設(shè)x1＜x2，x1、x2∈R，則x2-x1＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2
∴f（x2-x1）＞2
∵f（x+y）=f（x）+f（y）-2
∴f（x2）+f（-x1）-2＞2
∴f（x2）+f（-x1）＞4；
對(duì)f（x+y）+2=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=2，
再取y=-x得：f（x）+f（-x）=4，即f（-x）=4-f（x），
∴有f（x2）+4-f（x1）＞4
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在R上遞增，
（2）解：f（3）=f（2）+f（1）-2=f（1）+f（1）-2+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3；
于是，不等式f（a2-2a-2）＜3等價(jià)于f（a2-2a-2）＜f（1）
∵f（x）在R上遞增，
∴a2-2a-2＜1
∴a2-2a-3＜0
∴-1＜a＜3．
∴滿足f（a2-2a-2）＜3的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，3）
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，考查利用單調(diào)性解不等式，已知抽象函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，常用“賦值法”．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點(diǎn)P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對(duì)任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對(duì)任意x∈[0，+∞）成立，求實(shí)數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個(gè)值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，
1
2
）對(duì)稱；
（Ⅱ）設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對(duì)任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個(gè)命題中，所有真命題的序號(hào)是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)x∈R恒成立；
③存在三個(gè)點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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同步練習(xí)冊(cè)答案