Question

解不等式：
（1）2ax²+4x+a+1≤0；
（2）（1-a）x²+4ax-（4a+1）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）討論a=0時(shí)，a＞0時(shí)，a＜0時(shí)，對(duì)應(yīng)不等式的解集是什么；
（2）討論1-a=0，1-a＞0，1-a＜0時(shí)，對(duì)應(yīng)不等式的解集是什么．

解答： 解：（1）∵2ax²+4x+a+1≤0，
∴當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為4x+1≤0，解得x≤-

1

4

；
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式化為x²+

2

a

x+

a+1

2a

≤0，
∵△=(

2

a

)2-4×

a+1

2a

=

4-2a2-2a

a2

=

-2(a+2)(a-1)

a2

，
∴若0＜a＜1，則△＞0，解不等式得

-2- 4-2a2-2a

2a

≤x≤

-2+ 4-2a2-2a

2a

；
若a=1，則△=0，解不等式得x=-

1

a

；
若a＞1，則△＜0，不等式無解；
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式化為x²+

2

a

x+

a+1

2a

≥0，
∵△=(

2

a

)2-4×

a+1

2a

=

4-2a2-2a

a2

=

-2(a+2)(a-1)

a2

，
∴若-2＜a＜0，則△＞0，解不等式得x≤

-2- 4-2a2-2a

2a

，或x≥

-2+ 4-2a2-2a

2a

；
若a=-2，則△=0，解不等式得，x∈R；
若a＜-2，則△＜0，解不等式得，x∈R；
綜上，a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤-

1

4

}；
0＜a＜1時(shí)，不等式的解集是{x|

-2- 4-2a2-2a

2a

≤x≤

-2+ 4-2a2-2a

2a

}；
a=1時(shí)，不等式的解集是{x|x=-

1

a

}；
a＞1時(shí)，不等式的解集∅；
-2＜a＜0時(shí)，不等式的解集是{x|x≤

-2- 4-2a2-2a

2a

，或x≥

-2+ 4-2a2-2a

2a

}；
a≤-2時(shí)，不等式的解集是R；
（2）當(dāng)1-a=0，即a=1時(shí)，不等式化為4x-5＞0，解得x＞

5

4

；
當(dāng)1-a＞0，即a＜1時(shí)，∵△=（4a）²-4（1-a）[-（4a+1）]=12a+4，
∴若-

1

3

＜a＜1，則△＞0，解不等式得x＜

-2a- 3a+1

1-a

，或x＞

-2a+ 3a+1

1-a

；
若a=-

1

3

，則△=0，解不等式得x≠

2a

a-1

；
若a＜-

1

3

，則△＜0，解不等式得x∈R；
當(dāng)1-a＜0，即a＞1時(shí)，∵△=（4a）²-4（1-a）[-（4a+1）]=12a+4＞0，
解不等式得

-2a- 3a+1

1-a

＜x＜

-2a+ 3a+1

1-a

；
綜上，a=1時(shí)，不等式的解集是{x|x＞

5

4

}；
-

1

3

＜a＜1時(shí)，不等式的解集是{x|x＜

-2a- 3a+1

1-a

，或x＞

-2a+ 3a+1

1-a

}；
a=-

1

3

時(shí)，不等式的解集是{x|x≠

2a

a-1

}；
a＜-

1

3

時(shí)，不等式的解集是R；
a＞1時(shí)，不等式的解集是{x|

-2a- 3a+1

1-a

＜x＜

-2a+ 3a+1

1-a

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)對(duì)字母系數(shù)進(jìn)行討論，是易錯(cuò)題目．