Question

在△ABC中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c且

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

．
（1）求A；
（2）求函數(shù)y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）在△ABC中，由條件利用正弦定理可得 sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC，即b²+c²-a²=bc，求得 cosA=

b2+c2-a2

2bc

的值，可得A的值．
（2）根據(jù)函數(shù)y=sin（2B-

π

6

）+1，0＜2B＜

2π

3

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得y的值域．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

，
∴由正弦定理可得

sinA-sinC

sinB-sinC

=

sinB

sinA+sinC

，化簡可得 sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC，
∴b²+c²-a²=bc，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）求函數(shù)y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=-

1

2

cos2B+

3

2

sin2B+1=sin（2B-

π

6

）+1，
根據(jù)0＜2B＜

2π

3

 可得-

π

6

＜2B-

π

6

＜

π

2

，∴sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，1），
∴y∈（

1

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理和余弦定理，三角恒等變換、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．