Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，直線：，圓：.

（1）求的取值范圍，并求出圓心坐標；

（2）若圓的半徑為1，過點作圓的切線，求切線的方程；

（3）有一動圓的半徑為1，圓心在上，若動圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的取值范圍為，圓心坐標為；（2）或；（3）.

【解析】

（1）把圓的方程化為標準式，即得的取值范圍及圓心坐標；

（2）把點的坐標代入圓的方程，可得點在圓外.設過點的切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑求出的值，即得切線方程；

（3）設圓心，寫出圓的方程.由，可得點在線段的中垂線上，求出直線的方程，則圓和直線的公共點即為點.由圓心到直線的距離小于等于半徑1，可得的取值范圍.

（1）化為，

由得，∴的取值范圍為，圓心坐標為.

（2）由（1）知圓心的坐標為，當半徑為1時，

圓的方程為：，將代入，

得，∴在圓外，

設所求圓的切線方程為，即，∴.

∴，∴，

∴或者，∴所求圓的切線方程為：或者，

即或.

（3）∵圓的圓心在直線：上，所以，設圓心，又半徑為1，

則圓的方程為：，

又∵，

∴點在的中垂線上，的中點得直線：，

∴點應該既在圓上又在直線上，即圓和直線有公共點.

∴，∴.

綜上所述，的取值范圍為：.