Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-2kx，（k常數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＜x³+lnx恒成立，求K的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=lnx-2kx，得f′(x)=

1

x

-2k，由k的不同取值進行分類討論，能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由f（x）＜x³+lnx恒成立，得x³+2kx＞0恒成立，由此能求出k的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=lnx-2kx，得f′(x)=

1

x

-2k，
∵f（x）的定義域為（0，+∞），
∴當k≤0時，f′(x)=

1

x

-2k＞0，f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
當k＞0時，由

1

x

-2k＞0，得x＜

1

2k

，
∴f（x）在（0，

1

2k

）上是增函數(shù)，在（

1

2k

，+∞）上是減函數(shù)，
綜上，當k≤0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
當k＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

1

2k

），單調(diào)減區(qū)間是（

1

2k

，+∞）．
（2）由f（x）＜x³+lnx恒成立，
得x³+2kx＞0恒成立，x∈（0，+∞），
即2kx＞-x³，∴2k＞-x³恒成立，
∵-x²＜0，2k≥0，
∴k的取值范圍是[0，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法和求實數(shù)的取值范圍，解題時要認真審題，注意導數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．