Question

20．若函數(shù)f（x）滿足：“對于區(qū)間（1，2）上的任意實數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”，則稱f（x）為完美函數(shù)．給出下列四個函數(shù)，其中是完美函數(shù)的是①③．
①f（x）=$\frac{1}{x}$；②f（x）=|x|；③f（x）=x²-3x；④f（x）=2^x．

Answer 1

分析 首先分析題目要求選擇滿足：“對于區(qū)間（1，2）上的任意實數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”的函數(shù)．故可以把4個選項中的函數(shù)分別代入不等式|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|分別驗證是否成立即可得到答案．

解答 解：在區(qū)間（1，2）上的任意實數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），分別驗證下列4個函數(shù)．
對于①：f（x）=$\frac{1}{x}$，|f（x₂）-f（x₁）|=|$\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{1}}$|=|$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$|＜|x₂-x₁|（x₁，x₂在區(qū)間（1，2）上，故x₁x₂大于1），故①是完美函數(shù)；
對于②：f（x）=|x|，|f（x₂）-f（x₁）|=||x₂|-|x₁||=|x₂-x₁|，故②不是完美函數(shù)；
對于③：f（x）=x²-3x，|f（x₂）-f（x₁）|=|${{x}_{2}}^{2}-3{x}_{2}$$-{{x}_{1}}^{2}+3{x}_{1}$|=|x₁+x₂-3|•|x₂-x₁|，
∵x₁，x₂∈（1，2），∴|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立，故③是完美函數(shù)；
對于④：f（x）=2^x，|f（x₂）-f（x₁）|=|${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}$|，
不妨設(shè)x₁＜x₂，令函數(shù)g（x）=2^x-x，g′（x）=2^xln2-1，
∴g（x）在（1，2）上為增函數(shù)，則${2}^{{x}_{2}}-{x}_{2}＞{2}^{{x}_{1}}-{x}_{1}$，∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞{x}_{2}-{x}_{1}$，
∴|${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}$|＞|x₂-x₁|，故④不是完美函數(shù)．
∴正確的答案為①③．
故答案為：①③．

點評 此題主要考查絕對值不等式的應(yīng)用問題．對于此類型的題目需要對題目選項一個一個做分析，然后用排除法作答即可．屬于中檔題目．